Ce este inducția matematică?

Matematica devine stigmatizare înfricoșător pentru studenți, chiar dacă cu cât înveți și practici mai des matematica, cu atât va fi mai distractiv și mai plăcut. Bine, acum vă vom invita să aflați mai multe despre inducția matematică. Ce este inducția matematică și pentru ce se folosește?

Inducția matematică în sine poate fi interpretată ca o tehnică de probă în matematică. Este folosit pentru a dovedi afirmații speciale care conțin numere naturale. Dovada utilizării acestei metode produce concluzii generale.

Introducere în inducția matematică

În demonstrarea utilizării inducției matematice, se obțin concluzii generale. Există două tipuri de raționamente utilizate pentru a obține concluzii, și anume raționamentul deductiv și raționamentul inductiv.

• Raționamentul deductiv este un raționament care începe de la enunțuri generale la afirmații specifice. Această abordare se numește abordarea „generală-specifică”, deoarece raționamentul începe cu lucrul general și apoi se încheie cu lucruri specifice. Exemplu; toate merele sunt fructe, toate fructele cresc pe copaci, deci toate merele cresc pe copaci.
• Raționamentul inductiv este un raționament care începe de la afirmații specifice la afirmații generale. Această abordare se numește abordare „generală-specifică” deoarece afirmațiile sunt compuse din puncte specifice pentru a ajunge la concluzii general acceptate. Exemplu; Un pasager al autobuzului observă că de fiecare dată când șoferul autobuzului calcă pedala de frână, toți pasagerii autobuzului vor fi împinși înainte.

(Citește și: Transformarea în matematică, cum ar fi ce?)

În plus, metoda inducției matematice poate fi utilizată pentru a demonstra adevărul unei ipoteze speciale, astfel încât să fie acceptată în general. Deci, această metodă este utilizată în dovezi în raționamentul inductiv.

Aplicarea inducției matematice

Aplicarea inducției matematice poate fi găsită în diferite ramuri ale matematicii. Ipotezele aranjate în matematică trebuie dovedite pentru a fi acceptate în general. O ipoteză este în general valabilă dacă se dovedește a fi adevărată pentru toate valorile numerice utilizate. Iată un exemplu de afirmație care poate fi dovedit în acest fel.

Demonstrați că suma seriei de numere -par este -n2. Unde n este un număr natural.

Decontare: P_n= 1 + 3 + 5 + 7 + ... .. + (2n - 1) = n2 se aplică la fiecare n € A

Pasul de bază: pentru n = 1, obținem că P1 = 1 = 12 este corect.

Etapa de inducție: să presupunem pentru n = k, P_k valoare adevarata. Se va arăta că pentru n = k + 1, P_{(k + 1)} = (k + 1) 2 este adevărat.

Acordați atenție următorilor pași:

Pentru n = k, atunci P_k = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2k - 1) = k2 este adevărat.

Prin adăugarea [2 (k + 1) -1] la cele două laturi, atunci

P_{(k + 1)} = 1 + 2 + 3 + ... (2k + 1) + [2 (k + 1) -1] = k2 + [2 (k + 1) - 1]

= k2 + 2k + 2 -

= k2 + 2k +

= (k + 1) 2 (dovedit)

Principiile inducției matematice

Fie P (n) o afirmație care conține numere naturale. Expresia P (n) poate fi dovedită adevărată pentru toate numerele naturale n, urmând pașii de inducție matematică.

Următorii pași în dovadă folosind această metodă:

1. Demonstrați că P (1) este adevărat sau P (n) este adevărat pentru n = 1.
2. Dacă P (k) este adevărat, atunci arată P (k + 1) este adevărat pentru fiecare număr întreg pozitiv k.

Dacă pașii (1) și (2) sunt corecți, se poate concluziona că P (n) este adevărat pentru fiecare număr natural n. Pasul 1 este numit pasul de bază, în timp ce pasul 2 este numit pasul de inducție.