Trei sisteme de ecuații liniare variabile și metode de soluție

În arhitectură, există calcule matematice pentru construirea clădirilor, dintre care unul este un sistem de ecuații liniare. Sistemul de ecuații liniare este util pentru determinarea coordonatelor punctelor de intersecție. Coordonatele corecte sunt esențiale pentru a produce o clădire care se potrivește schiței. În acest articol, vom discuta despre un sistem de ecuații liniare cu trei variabile (SPLTV).

Un sistem cu trei variabile de ecuații liniare constă din mai multe ecuații liniare cu trei variabile. Forma generală a unei ecuații liniare cu trei variabile este următoarea.

ax + cu + cz = d

a, b, c și d sunt numere reale, dar a, b și c nu pot fi toate 0. Ecuația are multe soluții. O soluție poate fi obținută prin echivalarea oricărei valori cu cele două variabile pentru a determina valoarea celei de-a treia variabile.

O valoare (x, y, z) este setul de soluții pentru un sistem de ecuații liniare cu trei variabile dacă valoarea (x, y, z) satisface cele trei ecuații din SPLTV. Setul de decontare SPLTV poate fi determinat în două moduri, și anume metoda de substituție și metoda de eliminare.

Metoda de substituție

Metoda de substituție este o metodă de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare prin substituirea valorii unei variabile de la o ecuație la alta. Această metodă se realizează până când toate valorile variabile sunt obținute într-un sistem de ecuații liniare cu trei variabile.

(Citiți și: Sistem de ecuație liniară cu două variabile)

Metoda de substituție este mai ușor de utilizat pe SPLTV care conține ecuații cu un coeficient de 0 sau 1. Iată pașii pentru rezolvarea metodei de substituție.

  1. Găsiți o ecuație care are forme simple. Ecuațiile în formă simplă au un coeficient de 1 sau 0.
  2. Exprimați o variabilă sub forma celorlalte două variabile. De exemplu, variabila x este exprimată în termenii variabilei y sau z.
  3. Înlocuiți valorile variabilei obținute în al doilea pas cu alte ecuații din SPLTV, astfel încât să se obțină un sistem de ecuații liniare cu două variabile (SPLDV).
  4. Determinați decontarea SPLDV obținută la pasul trei.
  5. Determinați valorile tuturor variabilelor necunoscute.

Să facem următorul exemplu de problemă. Determinați setul de soluții pentru următorul sistem de trei ecuații liniare.

x + y + z = -6 ... (1)

x - 2y + z = 3 ... (2)

-2x + y + z = 9 ... (3)

În primul rând, putem converti ecuația (1) în, z = -x - y - 6 în ecuația (4). Apoi, putem înlocui ecuația (4) în ecuația (2) după cum urmează.

x - 2y + z = 3

x - 2y + (-x - y - 6) = 3

x - 2y - x - y - 6 = 3

-3y = 9

y = -3

După aceea, putem înlocui ecuația (4) cu ecuația (3) după cum urmează.

-2x + y + (-x - y - 6) = 9

-2x + y - x - y - 6 = 9

-3x = 15

x = -5

Avem valorile pentru x = -5 și y = -3. Îl putem conecta la ecuația (4) pentru a obține valoarea z după cum urmează.

z = -x - y - 6

z = - (- 5) - (-3) - 6

z = 5 + 3 - 6

z = 2

Deci, avem setul de soluții (x, y, z) = (-5, -3, 2)

Metoda de eliminare

Metoda eliminării este o metodă de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare prin eliminarea uneia dintre variabile în două ecuații. Această metodă se realizează până când rămâne o singură variabilă.

Metoda de eliminare poate fi utilizată în toate sistemele de ecuații liniare cu trei variabile. Dar această metodă necesită un pas lung, deoarece fiecare pas poate elimina doar o variabilă. Este necesar un minim de 3 metode de eliminare pentru a determina setul de decontare SPLTV. Această metodă este mai ușoară atunci când este combinată cu metoda de substituție.

Pașii pentru rezolvarea utilizând metoda de eliminare sunt următorii.

  1. Observați cele trei asemănări pe SPLTV. Dacă există două ecuații cu același coeficient pe aceeași variabilă, scădeți sau adăugați cele două ecuații astfel încât variabila să aibă un coeficient de 0.
  2. Dacă niciuna dintre variabile nu are același coeficient, înmulțiți ambele ecuații cu numărul care face ca coeficientul unei variabile în ambele ecuații să fie același. Scădeți sau adunați cele două ecuații astfel încât variabila să aibă un coeficient de 0.
  3. Repetați pasul 2 pentru alte perechi de ecuații. Variabila omisă în acest pas trebuie să fie aceeași cu variabila omisă în pasul 2.
  4. După obținerea a două ecuații noi în pasul anterior, determinați setul de soluții pentru cele două ecuații utilizând metoda soluției sistemului de ecuații liniare cu două variabile (SPLDV).
  5. Înlocuiți valoarea celor două variabile obținute la pasul 4 într-una din ecuațiile SPLTV astfel încât să se obțină valoarea celei de-a treia variabile.

Vom încerca să folosim metoda de eliminare în următoarea problemă. Determinați setul de soluții SPLTV!

2x + 3y - z = 20 ... (1)

3x + 2y + z = 20 ... (2)

X + 4y + 2z = 15 ... (3)

SPLTV poate fi determinat setul de soluții prin eliminarea variabilei z. Mai întâi, adăugați ecuațiile (1) și (2) pentru a obține:

2x + 3y - z = 20

3x + 2y + z = 20 +

5x + 5y = 40

x + y = 8 ... (4)

Apoi, înmulțiți 2 în ecuația (2) și înmulțiți 1 în ecuația (1) pentru a obține:

3x + 2y + z = 20 | x2 6x + 4y + 2z = 40

x + 4y + 2z = 15 | x1 x + 4y + 2z = 15 -

5x = 25

x = 5

După ce cunoașteți valoarea lui x, înlocuiți-o cu ecuația (4) după cum urmează.

x + y = 8

5 + y = 8

y = 3

Înlocuiți valorile x și y în ecuația (2) după cum urmează.

3x + 2y + z = 20

3 (5) + 2 (3) + z = 20

15 + 6 + z = 20

z = -

Astfel încât setul de soluții SPLTV (x, y, z) este (5, 3, -1).

Postări recente